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Por: Guillermo Arturo Mantilla Soler

Objetivo

Definir y estudiar invariantes de cuerpos de números que puedan refinar el discriminante.

Resumen

El estudio de formas cuadráticas es un tema central en las Matemáticas contemporaneas, con conecciones profundas en diferentes áreas como teoría de representaciones, topología, combinatoría, criptografía, teoría de códigos e inclusive física. Una forma cuadrática entera no es otra cosa que un polinomio homogeneo de grado dos con coeficientes racionales el cual toma valores enteros al evaluar en los enteros; por ejemplo f(x,y)=x^2+ y^2 es una forma cuadrática entera. Tal forma cuadrática puede verse como la forma bilineal inducida por el producto escala estándar en el plano cartesiano con valores en el retículo canónico(los puntos en el plano con coordenadas enteras). Si pensamos en la forma f descrita anteriormente nos podemos preguntar qué primos son representados por tal forma; resulta ser que la respuesta a esta pregunta es los primos impares que dejan un residuo de 1 al dividir por 4 y el primo par. Tal respuesta tiene implicaciones en criptografía y la teoría de codigos sobre retículos, también tiene sus aplicaiones en el estudio curvas elípticas racionales.
El propósito de este proyecto es tener una clasificación de ciertos cuerpos de números, que son el objeto central de la teoría algebraica de números, vía una forma cuadrática entera llamada la forma traza. La forma traza en principio caracteríza el discriminante de un cuerpo de números y su signatura. La forma traza no es otra cosa que el invariante dado por la forma bilineal natural en el anillo de enteros de un cuerpo de números. Por ejemplo si el cuerpo de numeros está dado por tomar los racionales y adjunar una raíz cuadrada de -1, i.e., i, la forma traza resultante es 2f donde f es la del ejemplo de arriba. Junto a la forma traza se tiene otro invariante altamente relacionado con ella que es la función Zeta de Dedekind; tal invariante es la generalización natural de la famosa función zeta de Riemann . Utilizando estos dos invariantes planeo dar resultados de clasificación de cuerpos de números completamente nuevos.

Publicado por Fundación Universitaria Konrad Lorenz El día 07/08/2019 Enlace permanente Comentarios (0)